彼を怒らせた「理由」

過ちのメカニズムを解析します。ノートに書いて考えるのも良いでしょう。まずは彼を怒らせた「理由」を考えましょう。あなたのどんな行動や発言で彼は怒ったのでしょうか。間違いが見つかるはずです。
過ちを犯した「原因」
次に、自分がしでかしてしまった過ちの「原因」を考えます。どうしてそんな行動を取ったのか、そんなことを言ったのか。原因の原因まで考えます。

たとえば「彼にイライラをぶつけてしまった」という過ち。自分がいらついていたのは、仕事がうまくいかなかったから。仕事が順調ではないのは、やることが多すぎて追いつかないから…など原因が見えてくるはずです。
原因の「解決」

もう怒らないためには、思い当たった原因を「解決」する必要があります。先ほどの例で言えば、仕事量を減らしたりタスク管理を見直したりすれば、仕事でのイライラは減るはずです。これが原因の解決です。
もう間違わないための「改善」
そして、本当は彼にどう接するべきだったのか、ケンカにならないためにはどうしたら良かったのか。そのためには今後どうしたら良いのかという「改善」を考えましょう。

イライラしていたら彼には近づかない、事前に「今日は仕事がうまくいかなくて…」と愚痴ってスッキリするとか。こうすることで、彼に伝えるべきことも整理できます。
誠意が伝わる上手な謝り方
できれば対面で

直接会えるなら、対面して謝った方が良いです。目を見て、頭を下げて、誠実な謝罪をしましょう。ただし、遠距離恋愛中で、電話やLINEでケンカしてしまったというなら会わずに謝罪するのもやむを得ません。
まず心を込めて「ごめんね」

いよいよ謝る場面。まずは謝罪の言葉を伝えましょう。「ごめんね」「本当にごめんなさい」。自分は謝りたい、というはっきりとした意思表示をすることが誠意を見せることにつながります。